دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی
دانشکده مهندسی مکانیک
پایان نامه کارشناسی ارشد
گرایش تبدیل انرژی
عنوان:
تاثیر اتلاف ویسکوز بر تولید انتروپی برای یک سیال تراکم پذیر گازی در کانال میکرو -microchannel- با سطح مقطع مستطیل
استاد راهنما:
دکتر آقانجفی
نگارش:
وحید وندادی
تیر 90
بسم الله الرحمن الرحیم
دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی
دانشکده مهندسی مکانیک
هیئت داوران پس از مطالعه پایان نامه و شرکت در جلسه دفاع از پایان نامه تهیه شده تحت عنوان: تاثیر اتلاف ویسکوز بر تولید انتروپی برای یک سیال تراکم پذیر گازی در کانال میکرو (microchannel) با سطح مقطع مستطیل توسط وحید وندادی صحت و کفایت تحقیق انجام شده را برای اخذ درجه کارشناسی ارشد در رشته : مکانیک گرایش تبدیل انرژی مورد تایید قرار می دهد.
استاد راهنما:آقای دکتر
ممتحن داخلیآقای دکتر
ممتحن داخلیآقای دکتر
نماینده تحصیلات تکمیلی دانشکده:آقای دکتر
موضوع پایان نامه: تاثیر اتلاف ویسکوز بر تولید انتروپی برای یک سیال تراکم پذیر گازی در کانال میکرو (microchannel) با سطح مقطع مستطیل
اساتید راهنما: آقای دکتر آقانجفی
دانشجو: وحید وندادی
شماره دانشجویی: 8703174
اینجانب وحید وندادی دانشجوی دوره کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک گرایش تبدیل انرژی دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی گواهی می نمایم که تحقیقات ارائه شده در این پایان نامه توسط شخص اینجانب انجام شده و صحت و اصالت مطالب نگارش شده مورد تایید می باشد و در موارد استفاده از کار دیگر محققان به مرجع مورد استفاده به مرجع مورد استفاده اشاره شده است. بعلاوه گواهی می نمایم که مطالب مندرج در پایان نامه تاکنون برای دریافت هیچ مدرک یا امتیازی توسط اینجانب یا فرد دیگری در هیچ جا ارائه نشده است و در تدوین متن پایان نامه چارچوب مصوب دانشگاه بطور کامل رعایت شده است.
تاریخ……………………….
حق طبع و نشر و مالکیت نتایج
حق چاپ و تکثیر این پایان نامه متعلق به نویسنده آن می باشد. هر گونه کپی برداری بصورت کل پایان نامه یا بخشی از آن تنها با موافقت نویسنده یا کتابخانه دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه خواجه نصیر الدین طوسی مجاز می باشد. ضمنا متن این صفحه نیز باید در نسخه تکثیر شده وجود داشته باشد.
کلیه حقوق معنوی این اثر متعلق به دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی می باشد و بدون اجازه کتبی دانشگاه به شخص ثالث قابل واگذاری نیست.
همچنین استفاده از اطلاعات و نتایج موجود در پایان نامه بدون ذکر مرجع، مجاز نمی باشد.
چکیده
در این پروژه به بررسی عددی یک جریان گازی پایا در میکروکانال با سطح مقطع مستطیل می پردازیم. جریان با دمای مشخص وارد کانال با دیواره با دمای ثابت می شود. معادلات مومنتم و انرژی گسسته سازی شده و بصورت عددی حل می شود. گسسته سازی به روش FVM انجام شده است و از تقریب به روش TVD و تابع ون آلبادا استفاده شده است. شرط های مرزی لغزش سرعت و پرش دما بر روی دیواره اعمال شده است. تاثیر اتلاف ویسکوز و همچنین عدد نادسن بر انتقال حرارت در کانال و در حضور شرایط مرزی ذکر شده بررسی شده است. همچنین تولید انتروپی در کانال به تفصیل مورد بررسی قرار گرفته است. مشاهده شده است که افزایش عدد برینکمن باعث افزایش تولید انتروپی و افزایش عدد نادسن باعث کاهش تولید انتروپی در کانال می شود.
فهرست
فصل اول5
نیاز به گذر گاه باریک5
1-1 نیازمندی به گذرگاه های باریکتر برای عبور جریان6
1-2 دسته بندی کانال ها8
1-3 فرضیات اولیه در انتقال حرارت و افت فشاردر میکرو کانال ها9
فصل دوم14
جریان سیال در میکرو کانال14
2-1 پیشگفتار15
2-2 قطر هیدرولیکی16
2-3 طول توسعه یافتگی جریان17
2-4 حالت های انتقال حرارت18
2-5 فرضیه پیوستگی19
2-6 اصول ترمودینامیک21
2-7 قوانین کلی22
2-8 قوانین خاص23
2-9 ساختار جریان24
2-10 طول ورودی حرارتی25
فصل سوم27
تشریح و حل پروژه27
3-1پیش گفتار28
3-2 گسسته سازی معادلات مومنتم30
3-3 گسسته سازی معادله پیوستگی37
3-4 شرایط مرزی39
3-4-1 اعمال شرط مرزی slip :40
3-4-2 شرط های مرزی برای u42
3-4-3 شرط های مرزی برای v43
3-4-4 شرط های مرزی برای w44
3-5 اعمال شرط های مرزی در معادلات مومنتم45
3-6 گسسته سازی معادله انرژی46
3-6-1 نحوه اعمال شرط مرزی پرش دما بر روی دیواره ها60
3-6-2 شرایط مرزی برای دما61
3-7 الگوریتم حل63
3-7-1مراحل SIMPLER63
3-8 شکل کلی حل معادلات به روش TDMA66
فصل چهارم68
نتایج و پیشنهادات68
4-1 بررسی صحت حل عددی:69
4-2 نتایج و توضیحات:69
4-3 پیشنهادات80
ضمائم81
اعمال شرط های مرزی در معادلات مومنتم u82
اعمال شرط های مرزی در معادلات مومنتم v89
اعمال شرط های مرزی در معادلات مومنتم w98
اعمال شرط های مرزی در معادلات P105
اعمال شرایط مرزی بر ضرایب معادله انرژی111
منابع120
فهرست اشکال
شکل 1- 1 گستره ای از قطر میکرو کانال هایی که دارای کاربردهای مختلف می باشند7
جدول 1- 1 ابعاد کانال برای انواع جریان گازی در فشار اتمسفر9
شکل 1- 3 اثر قطر هیدرولیکی بر انتقال حرارت در میکرو کانال ها [3]10
شکل 2- 1 پارامتر طول ورودی جریان K برای جریان لایه ای در ورودی مجرا18
شکل 2- 2 جریان در حال توسعه هیدرودینامیکی و حرارتی26
جدول 4- 1 بررسی صحت جواب ها با مراجع [24و25]69
شکل 4- 1 تغییرات عدد ناسلت برای عدد های نادسن مختلف در Pe=0.571
شکل 4- 2 تغییرات عدد ناسلت برای عدد های نادسن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 272
شکل 4- 3 تغییرات عدد ناسلت برای عدد های نادسن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 573
شکل 4- 4 تغییرات عدد ناسلت در طول کانال در Pe=0.5 برای دو صفحه موازی74
شکل 4- 5 تغییرات Nh برای عدد های نادسن و برینکمن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 175
شکل 4- 6 تغییرات Ns برای عدد های نادسن و برینکمن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 176
شکل 4- 7 تغییرات Nsave برای عدد های نادسن و برینکمن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 177
شکل 4- 8 تغییرات Beave برای عدد های نادسن و برینکمن مختلف در Pe=0.5 و نسبت طول به عرض 178
فصل اول
نیاز به گذر گاه باریک
1-1 نیازمندی به گذرگاه های باریکتر برای عبور جریان
جریان سیال داخل کانال ها در بسیاری از سیستم های طبیعی و سیستم های ساخته شده توسط بشر دیده می شود. انتقال جرم و حرارت توسط دیواره کانال در سیستم های بیولوژیکی مانند مغز، ریه، کلیه، روده و غیره همچون بسیاری از سیستم های ساخته شده توسط بشر مانند مبدل های حرارتی، راکتورهای هسته ای، واحدهای تقطیر، واحدهای جداسازی هوا و نظیر آنها انجام می شود. به طور کلی فرایندهای انتقال توسط دیواره کانال ها انجام می شود، مادامی که که جریان در درون کانال در حال عبور است.
کانال دو وظیفه اساسی دارد که باید در طول عملکرد خود به انجام برساند:
1. سیال را به برخورد موثر با دیواره های کانال وادار نماید.
2. به منظور اینکه فرایند انتقال به خوبی انجام پذیرد کانال باید همواره سیال جدید را به سمت دیواره فرستاده و سیالی را که در نزدیک دیواره است و وظیفه فرایند انتقال خود را انجام داده از دیدار دور نماید تا سیال جدید در مجاورت دیواره جایگزین آن شود.
نرخ فرآیند انتقال به مساحت سطح تماس با سیال بستگی دارد که این خود برای کانال با سطح مقطع دایره ای به قطر کانال، D بستگی داشته همچنان که نرخ جریان به مساحت سطح مقطع کانال بستگی دارد، که سطح مقطع نیز به طور خطی با D^2 متناسب است. بنابراین نسبت مساحت سطح داخلی کانال به حجم با قطر کانال نسبت عکس خواهد داشت، پر واضح است که با کاهش قطر نسبت مساحت سطح داخلی کانال به حجم افزایش خواهد داشت.
در بدن انسان دو فرایند بسیار موثر انتقال حرارت و جرم در ریه و کلیه اتفاق می افتد، جایی که قطر کانال ها یا به عبارتی دیگر مجراهای باریک چیزی در حدود چهار میکرومتر می باشد.
گستره ای از میکرو کانال ها با ابعاد مختلف با ذکر نوع سیستمی که میکرو کانال در آنها به کار رفته است، در شکل (1-1) آورده شده است[1].
شکل 1- 1 گستره ای از قطر میکرو کانال هایی که دارای کاربردهای مختلف می باشند
هرچه ابعاد کانال کوچکتر می شود بعضی از تئوری هایی که برای توصیف وضعیت سیال، انرژی و انتقال جرم استفاده می شد نیازمند بررسی بیشتر جهت حصول اطمینان از اعتبار آن ها می باشد. دو عامل اساسی جهت دور شدن از تئوری های معمولی جهت توصیف مقیاس میکرو وجود دارد، به عنوان مثال تفاوت ها در مدل کردن جریان سیال داخل کانال های با قطر کوچک می تواند به دلایل زیر بوجود آید:
1. تغییر در فرایندهای اساسی مانند انحراف از فرضیه محیط پیوسته برای جریان گاز، یا اثر گذاری مضاعف بعضی از نیروها مانند نیروهای الکتروسینتیکی و مانند آن.
2. عدم قطعیت در کاربرد عوامل اساسی که به روش های آزمایشگاهی در مسائل با مقیاس بالاتر به دست آمده است مانند ضرایب افت، ورودی و خروجی، جریان سیال داخل لوله ها.
3- عدم قطعیت در اندازه گیری های مقیاس میکرو مانند ابعاد هندسی و پارامترهای مسئله.
1-2 دسته بندی کانال ها
دسته بندی کانال ها براساس قطر هیدرولیکی آنها به عنوان یک راه حل ساده و در عین حال کارا جهت بررسی رنج های مختلف مورد نظر می باشد. کاهش ابعاد کانال در فرایندهای مختلف، اثرات مختلفی داشته و ارائه یک شرط خاص منطبق بر متغیرهای فرایند ممکن است در نگاه اول گزینه ای بسیار نامناسب به نظر برسد، اما چنانچه تعداد فرایندها و متغیرهای حاکم بر انتقال از ابعاد معمولی به پدیده های مقیاس میکرو را در نظر بگیریم همان روش ساده دسته بندی کانال ها براساس ابعادشان را یک روش مناسب می بینیم که در کارهای علمی انجام شده در این زمینه نیز کاملا پذیرفته شده است. جدول (1-1) رنج های مختلف کانال را تحت جریان ها با نوع های متفاوت نشان می دهد:
جدول 1- 1 ابعاد کانال برای انواع جریان گازی در فشار اتمسفر
1-3 فرضیات اولیه در انتقال حرارت و افت فشاردر میکرو کانال ها
اثر قطر هیدرولیکی بر انتقال حرارت در شکل (1-2) و اثر آن بر افت فشار نیز در شکل (1-3) برای جریان آب و هوا در یک کانال با سطح مقطع مربع شکل و تحت اثر یک شار حرارتی یکنواخت و شرایط جریان لایه ای کاملاً توسعه یافته ارائه شده اند.
ضریب انتقال حرارت h در ناحیه جریان لایه ای تماماً توسعه یافته، تحت تاثیر عدد رینولدز جریان Re قرار ندارد. ضریب انتقال حرارت h عبارتست از:
h=Nu K/D_h
که در آن K هدایت حرارتی سیال و D_h قطر هیدرولیکی کانال می باشد. عدد نوسلت Nu برای جریان لایه ای تماماً توسعه یافته داخل کانال با سطح مقطع مربع شکل و با شرایط اعمال شار حرارتی ثابت برابر با 61/3 می باشد. شکل (1-2) نمایانگر تغییرات ضریب انتقال حرارت h برای جریان آب و هوا برحسب قطر هیدرولیکی کانالی با شرایط یاد شده بالا می باشد. شکل (1-2) نمایشگر بسیار خوبی از افزایش شدید ضریب انتقال حرارت h بر اثر کاهش ابعاد کانال می باشد.
شکل 1- 2 اثر قطر هیدرولیکی بر انتقال حرارت در میکرو کانال ها [3]
وجود تعادل مابین نرخ انتقال حرارت و افت فشار موضوع مهمی در طراحی گذرگاه های جریان های خنک کننده برای دفع شارهای حرارتی بسیار بالایی است که در خنک کاری چیپ های ریز پردازنده ها با آن روبرو می شویم.
توسعه سیستم های میکر الکترو مکانیکی به طور عمومی نیارمند توسعه سیستم های دفع حرارتی است که متناسب با آن سیستم ها کوچک باشند. خنک کاری آینه هایی که در سیستم های لیزر به کار می روند شامل سیستم های خنک کننده ای است که باید حرارت بسیار زیادی را از سطح مقطعی بسیار کوچک دفع نمایند.
پیشرفت هایی که در بیولوژی و مهندسی ژنتیک رخ می دهد نیازمند انتقال تحت کنترل سیال و همچنین کنترل شرایط دمایی آن در گذرگاه هایی است که ابعاد آن از چندین میکرون بیشتر نمی باشد بنابراین داشتن درک درستی از جریان سیال و انتقال حرارت در این سیستم های با مقیاس میکرو جهت طراحی و بهره برداری از این سیستم ها ضروری می باشد.
حالت های متعددی از مسائل وجود دارد که نیاز به مطالعات بیشتر جهت اعلام نظر دارد. که برخی از آنها عبارتند از:
1. بررسی آزمایشگاهی اعتبار معادله های انتقال جریان لایه ای و جریان مغشوش، ضریب اصطکاک جریان لایه ای و معادلات انتقال حرارتی که براساس فرضیات کلاسیک برای کاربرد در میکرو کانال هایی که در آنها شاهد تغییری در پدیده های انتقال یا بروز پدیده فیزیکی جدیدی نیستیم، همچنین آزمایشاتی برای بررسی انتقال جرم و مومنتم و حرارت و فرایندهای انتقال جرم.
2. بررسی پدیده گذار از جریان لایه ای به جریان مغشوش، در مقیاس میکرو و با دقت به ارزیابی های آزمایشگاهی مربوط به این کار.
3. اثرات زبری نسبی سطح برای جریان با توجه به این که مقادیر مرتبط با زبری سطح که در میکرو کانال ها با آن سر و کار داریم بسیار بیشتر از مسائل با مقیاس معمولی می باشد همچنین اثر زبری بر گذار از جریان لایه ای به مغشوش، ضرایب اصطکاک و انتقال حرارت در این گذار.
4. بررسی اعتبار مقادیر ثابتی که به روش های آزمایشگاهی برای مقیاس معمولی به دست آمده اند، مانند افت های مربوط به تغییر سطح مقطع افت در خمدیگی لوله ها و نظایر آن که این مقادیر که از آزمایشات جریان سیال در مقیاس معمولی به دست آمده اند. مانند افت های مربوط به تغییر سطح مقطع افت در خمیدگی لوله ها و نظایر آن که این مقادیر که از آزمایشات جریان سیال در مقیاس معمولی حاصل شده اند باید با توجه به شرایط حاکم بر مقیاس میکرو نسبت به کار بردن آنها با توجه زیادی عمل کرد.
به چند دلیل ابعاد گذرگاه جریان در کاربردهای انتقال حرارت گرایش به سمت مقادیر کمتر و در مقیاس میکرو دارد:
1. نقش انتقال حرارت در مقیاس میکرو بسیار پر رنگ تر و موثرتر است.
2. نیاز تجهیزات میکرو الکترونیک برای انتقال بیشتر حرارت هم زمان با توسعه و تحول آن تجهیزات.
3. اضطراری که به واسطه کاربرد روز افزون و تنوع رو به گسترش تجهیزات مقیاس میکرو که نیاز به خنک کاری دارند، به وجود می آید.
با استفاده از کانال های با ابعاد کوچکتر به انتقال حرارت با کارآیی بالاتری دست می یابیم، هر چند که بر واحد طول افت فشار بیشتری را نیز شاهد خواهیم بود. چگالی حجمی بیشتر انتقال حرارتی- که لازمه تکنیک های تولید پیشرفته و طراحی های مسیرهای جریان پیچیده تر است- بر ضرورت توسعه میکرو کانال ها برای انتقال حرارت تاکید دارد، به طوری که بهینه سازی هر یک از کاربردهای متنوع میکرو کانال ها نتایج جدیدی برای ابعاد کانال به دست می دهد، به عنوان مثال در صنعت تبرید و سردخانه استفاده از تیوپ های به قطر 6 تا 8 میلیمتر با استفاده از میکرو پره ها دیگر جایگزین تیوپ های تخت با قطر زیاد شده است. در کاربردهای صنایع خودرو ابعاد رادیاتورها و اوپراتورها به حدود یک میلیمتر رسیده تا ما بین توان مورد نیاز جهت پمپ کردن، انتقال حرارت و تمیزی کل سیستم، توازن خوبی برقرار شود. همچنین در کاربردهای تهویه مطبوع ساختمان امکان اتصال سیستم های خنک کن تجهیزات الکترونیکی و میکرو الکترونیکی اتاق سرور به سیستم تهویه مطبوع ساختمان نیز در حال اجرایی شدن می باشد.
فصل دوم
جریان سیال در میکرو کانال
2-1 پیشگفتار
به عنوان یک تعریف میکرو کانال ها، کانال هایی هستند که ابعاد آنها از یک میلیمتر کمتر و از یک میکرومتر بیشتر می باشد. در ابعاد بالای یک میلیمتر، جریان خصوصیاتی مشابه بیشتر جریان های ماکروسکپیک را از خود بروز می دهد. در ابعاد پایین تر از یک میکرومتر، جریان با مشخصات جریان های مقیاس نانو بیشتر منطبق است. میکرو کانال ها از مواد گوناگونی چون شیشه، پلیمرها، سیلیکون و فلزات و با روش های گوناگون همچون میکرو ماشین کاری سطح، میکرو ماشین کاری حجمی، ماشین کاری، میکرو کاترها و روش هایی چون قالب سازی و ریختگی ساخته می شوند.
میکرو کانال ها به واسطه نسبت بالای سطح به حجمی که دارند و نیز حجم کوچک خود دارای مزایایی هم می باشند. نسبت بالای سطح به حجم به میکرو کانال ها نرخ بالایی از انتقال حرارت و جرم بخشیده و آنها را به ابزارهایی قدرتمند برای استفاده در مبدل های حرارتی کوچک تبدیل می سازد.
اثرات ساختار مولکولی در مایعات و گازها بسیار متفاوت است اگر عدد نودسن که به صورت Kn مساوی λ تقسیم بر L_s تعریف می شود که در آن λ مسیر توسط آزاد در گاز می باشد از عدد 3-10 بزرگتر باشد اثرات عدم تعادل شروع به نمایان شدن می کند. با افزایش عدد نودسن دیگر فرضیات محیط پیوسته و تئوری سیالات، غیر قابل استفاده خواهند بود و تجزیه و تحلیل این قبیل جریان ها نیازمند در نظر گرفتن پدیده های فیزیکی مختلف می باشد.
Kn=λ/L_s (2.1)
مایعات عموماً خاصیت تراکم ناپذیری دارند به این دلیل چگالی مایع در جریان داخل میکرو کانال ها، به عنوان تابعی از موقعیت نسبی به ابتدای کانال بسیار نزدیک به عددی ثابت باقی می ماند که این برخلاف تعداد زیاد گرادیان های فشاری است که مشخصات جریان با مقیاس میکرو را شکل می دهند و تعریف می کنند. این رفتار چگالی مایعات تحلیل جریان های مایع را به نسبت جریان های گازی بسیار ساده سازی می نماید. جایی که افت فشارهای زیاد در کانال ها منجر به انبساط زیاد و تغییرات زیاد در ظرفیت حرارتی می شوند.
2-2 قطر هیدرولیکی
قطر هیدرولیکی یک عبارت مصطلح می باشد که برای جریان هایی که از درون کانال های با سطح مقطع غیر دایروی عبور می کنند بکار می رود. در عمل قطر هیدرولیکی به صورت زیر تعریف می شود:
D_h=4A/P (2.2)
که A سطح مقطع کانال و P محیط تر شده کانال می باشد.
برای کانال های با سطح مقطع دایروی داریم:
D_h=4A/P=(4 (πD^2)/4)/πD=D (2.3)
همانطور که انتظار داشتیم قطر هیدرولیکی کانال با سطح مقطع دایروی برابر با قطر همان کانال می باشد.
برای محاسبه قطر هیدرولیکی در کانال های حلقوی داریم:
D_h=4A/P=(4(π〖r_o〗^2-π〖r_i〗^2))/(2πr_o+2πr_i )=2(r_o-r_i) (2.4)
که r_o شعاع خارجی کانال و r_i شعاع داخلی آن می باشد.
همچنین برای کانال های مستطیلی داریم:
D_h=4A/P=4ab/(2(a+b))=2ab/((a+b)) (2.5)
که a طول کانال و b عرض کانال می باشد.
2-3 طول توسعه یافتگی جریان
جریان سیال پس از وارد شدن به لوله نیاز به طولی از لوله دارد تا منحنی سرعتش به شکل نهایی درآید و پس از آن تغییر نخواهد کرد. در این منطقه جریان بسیار شبیه به جریان لایه مرزی در حال رشد بوده که به سمت پایین دست جریان، ضخامت لایه مرزی در حال افزایش می باشد. در نهایت این لایه ها در مرکز کانال و در انتهای طول ورودی به یکدیگر ملحق می شوند. افت فشار از نقطه ورودی کانال تا موقعیت x از رابطه زیر به دست می آید:
P_0-P(x)=(f x/D_h +K(x)) (ρU^2)/2 (2.6)
که در آن K(x) پارامتر افت فشار بوده که در شکل (2-1) برای یک مجرای دایره ای شکل و برای دو صفحه موازی آورده شده است [4].
همچنین طول توسعه یافتگی در جریان لایه ای تقریباً توسط رابطه زیر بدست می آید:
x/D_h =0.065Re (2.7)
این امر در شکل (2-1) نیز بطور کامل قابل مشاهده است.
شکل 2- 1 پارامتر طول ورودی جریان K برای جریان لایه ای در ورودی مجرا
2-4 حالت های انتقال حرارت
مکانیزمی که حرارت به وسیله آن در یک سیستم تبدیل انرژی منتقل می شود بسیار پیچیده می باشد، با این حال سه حالت انتقال حرارت شناخته شده عبارتند از هدایت، جابجایی و تشعشع. جابجایی مکانیزمی از انتقال حرارت است که در اثر اختلاط یک بخش سیال با بخش دیگر تحت تاثیر حرکت جرم سیال اتفاق می افتد در حالی است که فرآیند واقعی، انتقال انرژی بین یک ذره سیال یا یک مولکول آن به دیگری همچون هدایت حرارتی می باشد انرژی ممکن است از نقطه ای از فضا به نقطه ای دیگر توسط جابجایی خود سیال نیز انجام شود به همین دلیل بررسی انتقال حرارت جابجایی به همراه حرکت سیال مورد بررسی قرار گرفته است. حرکت سیال ممکن است توسط عوامل خارجی مکانیکی مانند پمپ انجام پذیرد که در این حالت بدان جابجایی اجباری گفته می شود و اگر حرکت سیال به دلیل تفاوت در چگالی ناشی از اختلاف درجه حرارت موجود در جرم سیال باشد فرآیند را جابجایی آزاد یا جابجایی طبیعی می نامیم. انتقال حرارت های مهم در فاز مایع- بخار یعنی تبخیر و میعان نیز به عنوان مکانیزم های جابجایی در نظر گرفته می شوند چرا که در آنها نیز سهم حرکت سیال در انتقال حرارت بسیار است، البته در این دو حالت، پیچیدگی های دیگری مانند تبادل حرارت نهان نیز وجود خواهد داشت [5].
2-5 فرضیه پیوستگی
در تحلیل انتقال حرارت جابجایی در یک سیال، حرکت سیال بایستی به دقت همراه با فرآیند انتقال حرارت مورد مطالعه قرار گیرد. توصیف حرکت سیال در شکل بنیادی خود شامل مطالعه رفتار کلیه ذرات مجزای (مانند مولکول ها) تشکیل دهنده آن سیال می باشد. اساسی ترین رهیافت در تحلیل حرارت جابجایی نوشتن معادلات مکانیکی و ترمودینامیکی برای هر یک از ذرات تشکیل دهنده به طور مجزا و یا برای یک گروه آماری از ذرات تشکیل دهنده آن و به همراه در نظر گرفتن شرایط اولیه حاکم بر مسئله می باشد.
در بسیاری از کاربردها توجه اصلی به رفتار مولکولی سیال نیست، بلکه به اثرات متوسط یا اثرات ماکروسکپیک تعداد زیادی از مولکول ها توجه می شود، چرا که ما معمولاً همین مقادیر ماکروسکپیک را اندازه گرفته و مورد توجه قرار می دهیم. بنابراین در مطالعه انتقال حرارت جابجایی سیال به عنوان یک ماده با محیط پیوسته و قابل تقسیم تا بی نهایت در نظر گرفته شده و از ساختار مولکولی آن صرفنظر می شود، مدل محیط پیوسته تا زمانی که ابعاد و مسیر متوسط آزاد مولکول ها در قیاس با ابعاد مسئله و محیط به حد کافی کوچک باشند یعنی متوسط های آماری معنی دار باشند، دارای اعتبار می باشد.
با این وجود فرض محیط پیوسته زمانی که مسیر متوسط آزاد مولکول ها از لحاظ مرتبه بزرگی با کوچکترین طول موثر مسئله برابر می نماید دیگر دارای اعتبار نخواهد بود. در جریان های گازی انحراف حالت سیال از پیوستگی با عدد نودسن Kn نمایش داده می شود یعنی Kn=λ/L، مسیر متوسط آزاد λ همان متوسط فاصله ای است که مولکول بین دو برخورد موثر با مولکول های دیگری می پیماید و L طول مشخصه جریان می باشد. مدل های مناسب جهت جریان و انتقال حرارت برحسب عدد نودسن برای رژیم های مختلف گازی توسط Schaaf and Chamber که در جدول (2-1) ارائه گردیده اند [6]:
جدول 2-1
جریان پیوستهKn<〖10〗^(-3)جریان لغزشی〖10〗^(-3)<Kn<〖10〗^(-1)جریان در مرحله گذار〖10〗^(-1)<Kn<〖10〗^(+1)جریان آزاد مولکولی〖10〗^(+1)<Kn
در رژیم جریان لغزشی مدل جریان پیوسته هم چنان برای محاسبه خواص جریان در نقاط دور از مرز جامد معتبر می باشد لیکن شرایط مرزی را می بایستی به منظور به حساب آوردن فعل و انفعال ناکامل بین مولکول های گاز و مرز جامد اصلاح نمود، در شرایط عادی 1/0 بیشتر جریان های گازی داخل میکرو کانال های چاه های حرارتی با طول مشخصه ای از مرتبه یک میکرومتر، عدد نودسن هائی کمتر از 1/0 دارند، بنابراین در اینگونه مسائل ما فقط رژیم جریان لغزشی داشته لیکن هنوز از مرحله جریان در حال گذار و جریان آزاد مولکولی فاصله داریم، مشخص است که فرض پیوستگی برای جریان های مایع داخل میکرو کانال های چاه های حرارتی معتبر می باشد.
2-6 اصول ترمودینامیک
مناسب ترین چهارچوبی که مسائل انتقال حرارتی از این دست در آن می گنجد دیدگاه سیستم است که شامل مقادیری است که الزاماً ثابت نبوده و توسط یک مرز احاطه شده اند. مرزی می تواند کاملاً فیزیکی قسمتی فیزیکی قسمت دیگر مجازی یا به کل مجازی باشد. قوانین فیزیکی که مورد بررسی قرار می گیرد همواره برحسب مولفه های سیستم ارائه می شود.
یک حجم کنترل ناحیه مشخصی از فضا است که جرم، مومنتوم و انرژی می تواند از مرزهای آن عبور کرده همچنین جرم مومنتوم و انرژی در آن ذخیره می شود و نیروهای خارجی نیز می تواند بر آن اثر کند، تعریف دقیق یک تقسیم یا حجم کنترل می بایستی حداقل شامل تعریف سیستم مختصات باشد که این سیستم مختصات خود می تواند ایستا یا در حال حرکت باشد. مشخصه مورد توجه یک سیستم حالات آن است که شرطی از سیستم است که با خواص آن سیستم قابل توصیف است، یک خاصیت سیستم ممکن است براساس هر یک از مقادیری باشد که به حالت سیستم بر می گردد و منفصل از مسیری است که سیستم را به یک حالت مشخص می رساند اگر کلیه خواص یک سیستم بدون تغییر باقی بماند، چنین بیان می شود که سیستم در حالت تعادل است.
هر تغییری در یک یا بیشتر از خواص سیستم به معنی این است که تغییری در حالت سیستم روی داده است. مسیری از حالت های آتی که سیستم از آنها می گذرد فرآیند نامیده می شود. هنگامی که یک سیستم در حالت اولیه داده شده است تغییرات مختلفی را در حالت یا فرآیندهای خود می بینند و در نهایت به همان نقطه آغازین بر می گردد، چنین بیان می شود که سیستم در یک چرخه قرار گرفته است. خواص تنها زمانی قادر به توصیف حالت یک سیستم هستند که سیستم درحالت تعادل باشد، چنانچه انقال حرارتی بین دو سیستم که در تماس با یکدیگر قرار دارند رخ ندهد چنین گفته می شود که سیستم ها در تعادل حرارتی هستند. هر دو سیستمی که با هم در تعادل حرارتی باشند دارای درجه حرارت مساوی می باشند و چنانچه سیستم ها در تعادل حرارتی نباشند دماهای مختلفی خواهند داشت، در این حالت ممکن است انتقال انرژی از یک سیستم به سیستم دیگر صورت گیرد، بنابراین دما خاصیتی است که سطح حرارتی سیستم را اندازه می گیرد.
هنگامی که ماده ای وجود داشته باشد که قسمتی از آن مایع و قسمت دیگری و در حالت اشباع باشد کیفیت آن x توسط نسبت جرم بخار به جرم کل تعریف می شود کیفیت خاصیتی است که مقدار آن مابین صفر و یک می باشد. کیفیت تنها هنگامی معنی دارد که ماده در حالت اشباع یعنی دما و فشار اشباع قرار داشته باشد مقدار انرژی که می بایست به شکل حرارت به یک ماده در فشار ثابت انتقال یابد تا تغییر فاز صورت گیرد گرمای نهان نامیده می شود، این شامل تغییر در آنتالپی ماده به عنوان یک خاصیت ماده است که در شرایط اشباع برای هر یک از دوفاز مایع و بخار می باشد. گرمای تبخیر و جوش حرارت مورد نیاز جهت تبخیر کامل یک واحد جرم از مایع اشباع می باشد.
2-7 قوانین کلی
قوانین کلی که به یک سیستم باز، مانند میکرو کانال های چاه های حرارتی اشاره دارند، می توانند به هر یک از فرم های انتگرالی یا دیفرانسیلی نوشته شوند. قانون بقای جرم به زبان ساده بیان می دارد زمانی که تبدیل جرم- انرژی نداشته باشیم جرم سیستم ثابت می ماند، لذا چنانچه چشمه یا چاه نداشته باشیم، Q=0 و نرخ تغییر جرم در حجم کنترل مساوی شار جرمی روی سطح کنترل خواهد بود. قانون دوم نیوتن درباره حرکت بیان می دارد که نیروی خالص F که در یک سیستم مختصات بر سیستم اثر می کند برابر با نرخ زمانی تغییرات مومنتوم خطی کل سیستم است. همچنین قانون بقای انرژی برای حجم کنترل بیان می دارد که نرخ تغییرات انرژی کل سیستم E برابر با مجموع نرخ زمانی تغییرات انرژی حجم کنترل و شار انرژی گذرنده از سطح کنترل می باشد.
قانون اول ترمودینامیک که بیان دیگری از بقای انرژی می باشد بیان می دارد که نرخ تغییرات انرژی برابر با اختلاف بین نرخ انتقال حرارت به سیستم و کار انجام شده توسط سیستم است. قانون دوم ترمودینامیک به معرفی آنتروپی، S به عنوان یک خاصیت سیستم می پردازد. این قانون بیان می دارد که نرخ تغییرات آنتروپی سیستم برابر یا بزرگتر از نرخ انتقال حرارت به سیستم تقسیم بر دمای سیستم در طی فرآیند انتقال حرارت می باشد، حتی در شرایطی که محاسبات آنتروپی مورد توجه نمی باشد، قانون دوم ترمودینامیک همچنان مهم بوده و معادل این مسئله است که نشان دهیم حرارت نمی تواند از سیستم با درجه حرارت کمتر به سیستمی با درجه حرارت بیشتر انتقال پیدا کند.
2-8 قوانین خاص
قانون فوریه برای هدایت حرارتی براساس اصل پیوستگی بیان می گردد که شار حرارتی ناشی از هدایت در یک راستای معین (به عنوان مثال نرخ انتقال حرارت در واحد سطح) داخل یک محیط (خواه جامد، مایع یا گاز) به گرادیان دما در همان راستا بستگی دارد یعنی:
q^”=-k∇T (2.8)
که در آن q^” بردار شار حرارتی، K هدایت حرارتی و T دما می باشد. قانون نیوتون درباره سرد شدن چنین بیان می دارد که شار حرارتی از یک سطح جامد به وسیله جابجایی به سیال محیطی منتقل می شود، q^” به اختلاف دمای بین دمای سطح جامد T_wو دمای جریان آزاد سیال T_∞به شرح زیر وابسته می باشد:
q^”=h( T_w- T_∞) (2.9)
که در این رابطه h ضریب انتقال حرارت است.
2-9 ساختار جریان
رژیم های جریان ویسکوز بسته به ساختار جریان با لایه ای و مغشوش دسته بندی می شوند. در رژیم لایه ای ساختار جریان به وسیله حرکت ملایم درون لایه یا لایه ها مشخص می شود جریان در رژیم مغشوش با حرکت های سه بعدی اتفاقی ذرات سیال تحت تاثیر حرکت متوسط طبقه بندی می شود. این نوسانات مغشوش باعث تقویت بسیار زیاد انتقال حرارت جابجایی می گردند. با وجود که از لحاظ عملی جریان مغشوش هنگامی به وجود می آید که عدد رینولدز Re=(ρUD_h)/μ از یک مقدار بحرانی 〖Re〗_crit بیشتر شود. مقدار عدد رینولدز بحرانی به شرایط ورودی به کانال زبری سطح، لرزش هایی که به دیواره های کانال اعمال می شوند و هندسه سطح مقطع کانال بستگی دارد. Bhatti and Shah مقادیر 〖Re〗_crit را برای اشکال گوناگون از سطح مقطع کانال ارائه نمودند [7]. در کاربردهای عملی عدد رینولدز بحرانی را می توان به کمک رابطه زیر تخمین زد:
Re=(ρUD_h)/μ=2300 (2.10)
که در آن Uسرعت متوسط جریان، D_h=4A/S قطر هیدرولیکی کانال A و Sبه ترتیب مساحت سطح مقطع کانال ومحیط تر شده کانال می باشند. میکرو کانال ها معمولاً از لحاظ طول بیش از 1000 میکرومتر و از لحاظ قطر هیدرولیکی در حدود 10 میکرومت می باشند، سرعت متوسط جریان گاز با افت فشاری در حدود MPa 5/0 کمتر از m⁄s 100 و عدد رینولدز مربوطه نیز کمتر از 100 می باشد. عدد رینولدز برای جریان های مایع به دلیل قوی تر بودن نیروهای ویسکوز در مایعات نسبت به گازها از این مقدار نیز کمتر باشد. به همین دلیل در بسیاری از کاربردها جریان داخل میکرو کانال ها را به صورت لایه ای در نظر گیرند. جریان مغشوش ممکن است در کانال هایی کوتاه و با قطر هیدرولیکی زیاد و تحت تاثیر افت فشارهای زیاد به وجود بیایند، بنابراین در بررسی میکرو کانال ها چندان مورد توجه نمی باشند.
2-10 طول ورودی حرارتی
چنانچه دیواره های کانال گرم یا سرد شود لایه مرزی حرارتی نیز در طول سطوح داخلی کانال شکل خواهد گرفت. طول ورودی حرارتی L_t طول مورد نیاز کانال جهت توسعه یافتن جریان تا رسیدن به شرایط توسعه یافته خواهد بود. این طول به عدد رینولدز (Re) و عدد پرانتل (Pr) و نوع شرایط مرزی تحمیل شده به دیواره کانال بستگی دارد.
شکل 2- 2 جریان در حال توسعه هیدرودینامیکی و حرارتی
رابطه تجربی برای طول ورودی کانال به شکل زیر می باشد:
L_t/D_h = ̃0.05 Re Pr (2.11)
فصل سوم
تشریح و حل پروژه
3-1پیش گفتار
بررسی جریان های لغزشی امروزه بسیار مورد توجه قرار گرفته است [8-18]. همچنین مطالعات متعددی در مورد تولید انتروپی در میکرو کانال ها انجام شده است[19-23]. در این پروژه تلاش می شود تا جریان یک سیال گازی تراکم پذیر نیوتونی در یک میکروکانال مستطیل در حالت پایدار بررسی شود و سپس به بررسی تولید انتروپی در این کانال خواهیم پرداخت. در ابتدا معادلات حاکم بر جریان و معادلات حاکم بر انتقال حرارت ر بررسی می کنیم. از آنجایی که در نهایت می خواهیم از این معادلات در حل عددی استفاده کنیم لذا از صورتی از معادلات استفاده می کنیم که مناسب برای حل های عددی باشند و به راحتی گسسته سازی بر روی آنها انجام شود.
معادلات حاکم:
معادلات حاکم شامل معادلات حاکم بر جریان و معادلات حاکم بر انتقال حرارت و همچنین معادلات حاکم بر حالت سیال می باشند. معادلات حاکم بر جریان شامل معادلات پیوستگی و معادلات مومنتم می شوند که به قرار زیرند:
معادله پیوستگی:
div(ρu)=0
معادله مومنتم:
x-momentum div(ρuu)=div(μ grad u)-∂P/∂x
y-momentum div(ρvu)=div(μ grad v)-∂P/∂y
w-momentum div(ρwu)=div(μ grad w)-∂P/∂z
معادلات حاکم بر انتقال حرارت شامل معادلات انرژی و معادله حالت میشوند. این معادلات نیز در فرم مناسب مورد استفاده به قرار زیرند:
div(ρh_0 u)=div(k grad T)+[∂(uτ_xx )/∂x+∂(uτ_yx )/∂y+∂(uτ_zx )/∂z+∂(vτ_xy )/∂x+∂(vτ_yy )/∂y+∂(vτ_zy )/∂z+∂(wτ_xz )/∂x+∂(wτ_yz )/∂y+(∂(wτ_zz))/∂z]
P=ρRT
و معادلات جانبی نیز برای بسته شدن دستگاه معادلات مورد نیاز هستند که به شرح زیرند:
h_0=h+□(1/2)(u^2+v^2+w^2)
h=c_p T
با کمی دقت در معادلات مومنتم و انرژی در می یابیم که تمام این معادلات از دو بخش اساسی کانوکشن، عبارت سمت چپ تساوی و دیفیوژن، عبارت اول سمت راست تساوی تشکیل شده اند. به همین سبب می توان صورت کلی از معادلات شامل عبارت های کانوکشن و دیفیوژن را به صورت زیر نوشت:
div(ρϕu)=div(Π gradϕ)
که ضریب Π به سادگی بر اساس نوع معادله قابل تعیین است، لذا برای حل عددی ابتدا می بایست معادله بالا را که یک معادله کلی است برای سه معادله مومنتم و معادله انرژی است گسسته کنیم. به دلیل حجم بالای مطالب در این پروژه تنها گسسته شده معادلات آورده می شود و برای نحوه گسسته سازی و روش های آن خواننده به مراجع[30و31] ارجاع داده می شود.
3-2 گسسته سازی معادلات مومنتم
بر اساس روش ارائه شده در مرجع [30] معادله گسسته شده به صورت زیر ارائه می شود و نکته قابل توجه در این گسسته سازی استفاده از فلاکس عبوری جریان است.
F_e Φ_e-F_w Φ_w+F_n Φ_n-F_s Φ_s+F_t Φ_t-F_b Φ_b=D_e (Φ_E-Φ_P )-D_w (Φ_P-Φ_W )+D_n (Φ_N-Φ_P )-D_s (Φ_P-Φ_S )+D_t (Φ_T-Φ_P )-D_b (Φ_P-Φ_B )
مقادیر ϕ اگر با زیر نویس بزرگ باشد در آن نقاط مقادیر دقیق موجود می باشد ولی با زیر نویس حروف کوچک نیاز به تقریب داریم. از آنجایی که این تقریب تاثیر بسیار زیادی در همگرایی حل عددی دارد می بایست به دقت مورد توجه قرار گیرد. برای تقریب این نقاط در این پروژه از روش TVD استفاده کردیم. با این روش تقریب معادله گسسته شده به فرم زیر تبدیل می شود.
((F_e [Φ_P+1/2 ψ(r_e^+ )(Φ_E-Φ_P )])¦(F_e [Φ_E+1/2 ψ(r_e^- )(Φ_P-Φ_E )] ))-((F_w [Φ_W+1/2 ψ(r_w^+ )(Φ_P-Φ_W )])¦(F_w [Φ_P+1/2 ψ(r_w^- )(Φ_W-Φ_P )] ))+((F_n [Φ_P+1/2 ψ(r_n^+ )(Φ_N-Φ_P )])¦(F_n [Φ_N+1/2 ψ(r_n^- )(Φ_P-Φ_N )] ))-((F_s [Φ_S+1/2 ψ(r_s^+ )(Φ_P-Φ_S )])¦(F_s [Φ_P+1/2 ψ(r_s^- )(Φ_S-Φ_P )] ))+((F_t [Φ_P+1/2 ψ(r_t^+ )(Φ_T-Φ_P )])¦(F_t [Φ_T+1/2 ψ(r_t^- )(Φ_P-Φ_T )] ))-((F_b [Φ_B+1/2 ψ(r_b^+ )(Φ_P-Φ_B )])¦(F_b [Φ_P+1/2 ψ(r_b^- )(Φ_B-Φ_P )] ))=D_e (Φ_E-Φ_P )-D_w (Φ_P-Φ_W )+D_n (Φ_N-Φ_P )-D_s (Φ_P-Φ_S )+D_t (Φ_T-Φ_P )-D_b (Φ_P-Φ_B )
در اعمال تقریب TVD ردیف اول مربوط به فلاکس مثبت و ردیف دوم مربوط به فلاکس منفی می باشد. بعد از مرتب سازی متغییرها و ضرایب به معادله زیر خواهیم رسید:
a_P ϕ_P=a_W ϕ_W+a_E ϕ_E+a_S ϕ_S+a_N ϕ_N+a_B ϕ_B+a_T ϕ_T+S^DC
در این معادله ضرایب به صورت زیر تعریف شده است:
a_W=D_w+max⁡(F_w , 0)
a_E=D_e+max⁡(-F_e , 0)
a_S=D_s+max⁡(F_s , 0)
a_N=D_n+max⁡(-F_n , 0)
a_B=D_b+max⁡(F_b , 0)
a_T=D_t+max⁡(-F_t , 0)
و همچنین
a_P=a_W+a_E+a_S+a_N+a_B+a_T+(F_e-F_w )+(F_n-F_s )+(F_t-F_b)
و با توجه به تقریب استفاده شده برای نقاطی که در آنها مقدار قطعی وجود ندارد عبارت S^DC نیز به این شکل تعریف می شود:
S^DC=1⁄2 F_e [(1-α_e ) ψ_((r_e^-))-α_e ψ_((r_e^+)) ](ϕ_E-ϕ_P)+
1⁄2 F_w [α_w ψ_((r_w^+))-(1-α_w ) ψ_((r_w^-)) ](ϕ_P-ϕ_W)+
1⁄2 F_n [(1-α_n ) ψ_((r_n^-))-α_n ψ_((r_n^+)) ](ϕ_N-ϕ_P)+
1⁄2 F_s [α_s ψ_((r_s^+))-(1-α_s ) ψ_((r_s^-)) ](ϕ_P-ϕ_S)+
1⁄2 F_t [(1-α_t ) ψ_((r_t^-))-α_t ψ_((r_t^+)) ](ϕ_T-ϕ_P)+
1⁄2 F_b [α_b ψ_((r_b^+ ) )-(1-α_b ) ψ_((r_b^- ) ) ](ϕ_P-ϕ_B )
قابل ذکر است که در عبارت بالا ψ_((r) ) تابع ون آلبادا در این تقریب است و به صورت زیر تعریف می شود:
ψ_((r) )=(r+r^2)/(1+r^2 )
و همچنین داریم:
F_w>0 → α_w=1 F_e>0 → α_e=1
F_w<0 → α_w=0 F_e<0 → α_e=0
F_s>0 → α_s=1 F_n>0 → α_n=1
F_s<0 → α_s=0 F_n<0 → α_n=0
F_b>0 → α_b=1 F_t>0 → α_t=1
F_b<0 → α_b=0 F_t<0 → α_t=0
برای r داریم:
r_e^+=(ϕ_P-ϕ_W)/(ϕ_E-ϕ_P ) r_e^-=(ϕ_E-ϕ_EE)/(ϕ_P-ϕ_E )
r_w^+=(ϕ_W-ϕ_WW)/(ϕ_P-ϕ_W ) r_w^-=(ϕ_P-ϕ_E)/(ϕ_W-ϕ_P )
r_n^+=(ϕ_P-ϕ_S)/(ϕ_N-ϕ_P ) r_n^-=(ϕ_N-ϕ_NN)/(ϕ_P-ϕ_N )
r_s^+=(ϕ_S-ϕ_SS)/(ϕ_P-ϕ_S ) r_s^-=(ϕ_P-ϕ_N)/(ϕ_S-ϕ_P )
r_t^+=(ϕ_P-ϕ_B)/(ϕ_T-ϕ_P ) r_t^-=(ϕ_T-ϕ_TT)/(ϕ_P-ϕ_T )
r_b^+=(ϕ_B-ϕ_BB)/(ϕ_P-ϕ_B ) r_b^-=(ϕ_P-ϕ_T)/(ϕ_B-ϕ_P )
با توجه به اینکه گسسته سازی بر اساس حجم کنترل انتخاب شده برای مولفه های سرعت انجام می شود و در حل عددی به روش حجم محدود حجم های کنترل برای هر مولفه سرعت متفاوت است لذا با وجود اینکه معادله اصلی گسسته شده برای سه جهت مومنتم شکل یکسانی دارند ولی در تعاریف فلاکس جریان و در نتیجه ضرایب معادله بسیار با هم متفاوتند. به همین سبب برای روشن شدن روند محاسبات تمام ضرایب معادلات مومنتم به تفصیل آورده می شود. قابل ذکر است که از این به بعد از بالا نویس پریم برای مومنتم در جهت y و از بالا نویس زگوند برای مومنتم در جهت z استفاده می کنیم. همچنین از فرم کلی که تا کنون آن را تعریف کردیم برای مومنتم در جهت x استفاده می شود.
با توجه به توضیحات ارائه شده ابتدا فلاکس جربان را در معادله مومنتم در جهت x ارائه می کنیم.
F_e=1/2 [F_(i+1,J,Z)+F_(i,J,Z) ]=1/2 [((ρ_(I+1,J,Z)+ρ_(I,J,Z))/2)u_(i+1,J,Z)+((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I-1,J,Z))/2)u_(i,J,Z))]
F_w=1/2 [F_(i,J,Z)+F_(i-1,J,Z) ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I-1,J,Z))/2)u_(i,J,Z)+((ρ_(I-1,J,Z)+ρ_(I-2,J,Z))/2)u_(i-1,J,Z))]
F_n=1/2 [F_(I,j+1,Z)+F_(I-1,j+1,Z) ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J+1,Z))/2)v_(I,j+1,Z)+((ρ_(I-1,J,Z)+ρ_(I-1,J+1,Z))/2)v_(I-1,j+1,Z))]
F_s=1/2 [F_(I,j,Z)+F_(I-1,j,Z) ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J-1,Z))/2)v_(I,j,Z)+((ρ_(I-1,J-1,Z)+ρ_(I-1,J,Z))/2)v_(I-1,j,Z))]
F_t=1/2 [F_(I,J,z+1)+F_(I-1,J,z+1) ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J,Z+1))/2)w_(I,J,z+1)+((ρ_(I-1,J,Z)+ρ_(I-1,J,Z+1))/2)w_(I-1,J,z+1))]
F_b=1/2 [F_(I,J,z)+F_(I-1,J,z) ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z-1)+ρ_(I,J,Z))/2)w_(I,J,z)+((ρ_(I-1,J,Z-1)+ρ_(I-1,J,Z))/2)w_(I-1,J,z))]
دقت شود این فلاکس ها بر روی حجم کنترل u تعریف می شوند بنابر این زیر نویس های e,w,n,s,t,b به ترتیب بیانگر فلاکس های ورودی از پایین، بالا، جنوب، شمال، غرب و شرق حجم کنترل می باشند. فلاکس های ورودی بر روی حجم کنترل v به صورت زیر می باشند:
F_e^’=1/2 [F_(i+1,J,Z)^’+F_(i+1,J-1,Z)^’ ]=1/2 [((ρ_(I+1,J,Z)+ρ_(I,J,Z))/2)u_(i+1,J,Z)+((ρ_(I,J-1,Z)+ρ_(I+1,J-1,Z))/2)u_(i+1,J-1,Z))]
F_s^’=1/2 [F_(I,j-1,Z)^’+F_(I,j,Z)^’ ]=1/2 [((ρ_(I,J-1,Z)+ρ_(I,J-2,Z))/2)v_(I,j-1,Z)+((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J-1,Z))/2)v_(I,j,Z))]
F_w^’=1/2 [F_(i,J,Z)^’+F_(i,J-1,Z)^’ ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I-1,J,Z))/2)u_(i,J,Z)+((ρ_(I-1,J-1,Z)+ρ_(I,J-1,Z))/2)u_(i,J-1,Z))]
F_n^’=1/2 [F_(I,j,Z)^’+F_(I,j+1,Z)^’ ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J-1,Z))/2)v_(I,j,Z)+((ρ_(I,J+1,Z)+ρ_(I,J,Z))/2)v_(I,j+1,Z))]
F_t^’=1/2 [F_(I,J,z+1)^’+F_(I,J-1,z+1)^’ ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z+1)+ρ_(I,J,Z))/2)w_(I,J,z+1)+((ρ_(I,J-1,Z)+ρ_(I,J-1,Z+1))/2)w_(I,J-1,z+1))]
F_b^’=1/2 [F_(I,J,z)^’+F_(I,J-1,z)^’ ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J,Z-1))/2)w_(I,J,z)+((ρ_(I,J-1,Z-1)+ρ_(I,J-1,Z))/2)w_(I,J-1,z))]
و همچنین فلاکس ورودی برای حجم کنترل w به شکل زیر خواهد بود:
F_e^”=1/2 [F_(i+1,J,Z)^”+F_(i+1,J,Z-1)^” ]=1/2 [((ρ_(I+1,J,Z)+ρ_(I,J,Z))/2)u_(i+1,J,Z)+((ρ_(I,J,Z-1)+ρ_(I+1,J,Z-1))/2)u_(i+1,J,Z-1))]
F_s^”=1/2 [F_(I,j,Z)^”+F_(I,j,Z-1)^” ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J-1,Z))/2)v_(I,j,Z)+((ρ_(I,J,Z-1)+ρ_(I,J-1,Z-1))/2)v_(I,j,Z-1))]
F_w^”=1/2 [F_(i,J,Z)^”+F_(i,J,Z-1)^” ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I-1,J,Z))/2)u_(i,J,Z)+((ρ_(I-1,J,Z-1)+ρ_(I,J,Z-1))/2)u_(i,J,Z-1))]
F_n^”=1/2 [F_(I,j+1,Z)^”+F_(I,j+1,Z-1)^” ]=1/2 [((ρ_(I,J+1,Z)+ρ_(I,J,Z))/2)v_(I,j+1,Z)+((ρ_(I,J+1,Z-1)+ρ_(I,J,Z-1))/2)v_(I,j+1,Z-1))]
F_t^”=1/2 [F_(I,J,z+1)^”+F_(I,J,z)^” ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z+1)+ρ_(I,J,Z))/2)w_(I,J,z+1)+((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J,Z-1))/2)w_(I,J,z))]
F_b^”=1/2 [F_(I,J,z)^”+F_(I,J,z-1)^” ]=1/2 [((ρ_(I,J,Z)+ρ_(I,J,Z-1))/2)w_(I,J,z)+((ρ_(I,J,Z-1)+ρ_(I,J,Z-2))/2)w_(I,J,z-1))]
اکنون می توان معادلات مومنتم در سه جهت را با توجه به تعریف فلاکس های جریان در هر حجم کنترل به صورت گسسته نوشت. تعاریف ضرایب به صورت کلی پیش از این ارئه شده است و تنها با جایگذاری فلاکس جریان مربوطه می توان به تعاریف مناسب ضرایب برای هر جهت از حجم کنترل دست یافت.
با تعاریف بالا برای حجم کنترل در سه جهت داریم:
a_P u_P=a_W u_W+a_E u_E+a_S u_S+a_N u_N+a_B u_B+a_T u_T+S_u^DC+(P_w-P_e)
a_P^’ v_P=a_W^’ v_W+a_E^’ v_E+a_S^’ v_S+a_N^’ v_N+a_B^’ v_B+a_T^’ v_T+S_v^DC+(P_s-P_n)
a_P^” w_P=a_W^” w_W+a_E^” w_E+a_S^” w_S+a_N^” w_N+a_B^” w_B+a_T^” w_T+S_w^DC+(P_b-P_t)
می توان معادلات مومنتم را به شکل زیر نوشت که در آن nb معرف نقاط همسایگی نقطه ای است که بر روی حجم کنترل در آن نقطه معادله ممنتم به صورت گسسته در آمده است.
a_(i,J,Z) u_(i,J,Z)=∑▒〖a_nb u_nb 〗+b_(i,J,Z)+(P_(I-1,J,Z)-P_(I,J,Z))
a_(I,j,Z)^’ v_(I,j,Z)=∑▒〖a_nb^’ v_nb 〗+b_(I,j,Z)^’+(P_(I,J-1,Z)-P_(I,J,Z))
a_(I,J,z)^” w_(I,J,z)=∑▒〖a_nb^” w_nb 〗+b_(I,J,z)^”+(P_(I,J,Z-1)-P_(I,J,Z))
با کمی تغییر در معادلات بالا آن را به شکل مطلوب تری در می آوریم تا در مراحل بعدی محاسبات از آن استفاده



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

دیدگاهتان را بنویسید